N進法とは？基数変換 N進法・N進数 小数などの変換のやり方、練習問題・例題解説

「N進法(進数)」の基本的な考え方について説明します。

とっつきにくい内容ですが、一度ルールさえ覚えてしまえば、決して難しいものではありません。

小数の基数変換も紹介します。

例題、練習問題も解きながら理解を深めてください。

N進法とは？

N進法とは数を表現するための方法のひとつで、「位取り記数法」とも呼ばれます。

N進法の「N」は、使用できる数字・記号の種類の数を表します。

例えば2進法であれば「0」と「1」の2二種類、8進法であれば「0」～「7」の8種類、12進法であれば0〜9の10種類の数字と3種類のアルファベット、16進法であれば0〜9およびA〜Fの10種類の数字と6種類のアルファベットを使うことができます。

N進数

まずは、10進法を例に見ていきます。

10進法では、以下のルールで数を表現します。

・数を数えるときは0～9の10種類の数字を使い、10になると桁がひとつ繰り上がる

10進法の数は 0 → 1 → 2 → 3 … → 9 と進んでいき、10種類の数字をすべて使い切ったところで桁がひと桁繰り上がって10となります。

このような桁の繰り上がり方は、10進法を含むすべてのN進法において、数の進み方の基本となる考え方です。

実は10進法の他にもうひとつ、私たちの日常でよく使われているN進法があります。

「時計」の60進法です。

一般的な時計が表す時間の最小単位は「秒」で、1秒、2秒…と時間が進んでいき、60秒になると「分」へ単位が繰り上がります。

同じように「分」から「時間」への繰り上がりも60分です。

つまり時計は「60進法」であると考えることができるのです。

人間が直感的に分かりやすい10進法以外に、なぜ様々なN進法があるのか、不思議に思った方もいるかもしれません。

もともとN進法は、大きな単位の数を処理しやすくするために、はるか昔インドで発明された考え方です。もしN進法がなければ、数を数えるときに 0、1、2…9、○、▲、☆… というような形で膨大な種類の数字・記号を用意する必要が出てきます。

そこでN進法の基本となる「位」の考え方により、数のまとまりを作り、そのまとまりの数を数えるようにすることで、0〜9の限られた数字だけで大きな単位の数を表すようにしました。

例えば 555 という数の場合、一の位・十の位・百の位で同じ数字が使われていますが、百の位は「100のまとまりが5つ」、十の位は「10のまとまりが5つ」、一の位は「1のまとまりが5つ」と、それぞれの数字が表現する数の大きさは違います。

これは位によって、数の基本的な大きさ（『重み』と表現します）が違うためです。

重みの増え方には規則性があり、10進法の場合、位が一つ上がるごとに10倍されていきます。

この重みの考え方を数式で表すと、以下のようになります。
555 = (100 × 5) + (10 × 5) + (1 × 5) = (10² × 5) + (10¹ × 5) + (10⁰ × 5)

10進法の各位の重みは、位が上がるごとに10倍されていくため、イコールの一番右側の式のように、10のべき乗で表現することができます。

この、べき乗される数を「基数」と呼び、10進法の基数は10です。また、10⁰の0や10²の2のように、べき乗する回数を「指数」といいます。

小数点以下についても見ていきます。

以下の表のとおり、小数点以下が増えるたびに重みは1/10倍されていきます。

5.55 という数を例に数式で表してみると、以下のようになります。
5.55 = (1 × 5) + (0.1 × 5) + (0.01 × 5)
= (1 × 5) + (1/10 × 5) + (1/100 × 5)
= (10⁰ × 5) + (10^-1 × 5) + (10^-2 × 5)

小数をべき乗で表現する場合、指数はマイナス（指数がプラスの場合は掛け算・マイナスの場合は割り算と考えてください）となります。1/10 であれば、10^-1と表現されます。

この基数と指数の考え方は、あらゆるN進法に応用できますので、重要なキーワードとして抑えておいてください。2進法であれば基数が2、8進法であれば基数が8に変わるだけで、べき乗（指数）の考え方は10進法と全く同じです。

2進法の表し方

コンピューター内部の世界で使われている2進法について説明します。先ほどの10進法と同じように2進法のルールをまとめると、以下のようになります。

・数を数えるときは0と1の数字を使い、2になると桁がひとつ繰り上がる

次の表は、10進法の0〜5までを2進法で表したものです。

0と1で複数の値を表現することへのイメージを深めるために、表と裏のあるコインを例に考えてみましょう。コイン1枚では、表と裏の2通りの状態を表すことができます。

コインが2枚に増えると「表表」「表裏」「裏表」「裏裏」の4通りを表せます。これは、1枚目の状態が2通り、2枚目の状態が2通りの組み合わせになるため、2×2=4通りというように計算することもできます。同じように考えると、コイン3枚では2×2×2=23=8通り、コイン4枚では2×2×2×2=24=16通り…となり、コインn枚に対して2n通りの状態を区別できることが分かるかと思います。

それでは、カレンダーの日付（1日〜31日）をコインで表すには、何枚のコインが必要になるでしょうか。25=32ですので、5枚のコインがあれば十分そうです。

このとき、例えば「1枚だけ表なら1日」というのはイメージしやすいと思いますが、20日や31日を表すには、どのように考えれば良いでしょうか。
考え方の一つとして、5枚あるコインのそれぞれに、1・2・4・8・16の数字を与えて重み付けをすることで、1〜31の数字が表現できます。

この重み付けの考え方は、次に説明する「基数変換」の理解に非常に役立ちますので、ぜひ覚えておいてください。

基数変換

N進法の数を、別のN進法の数に変換することを「基数変換」と呼びます。

最初に、出題頻度の高いN進法と10進法同士の基数変換について見ていきます。

・N進数から10進数への変換

整数部と少数部に分けて説明します。

○整数部のN進数から10進数への変換

N進法の数を10進法で表すには、以下の手順で変換します。

①N進法の数の各桁の値に、その桁の「重み」を掛ける
②各桁の①の結果を足し算する

例として、2進法の「1011001」を10進法の数に変換してみましょう。

①N進法の数の各桁の値に、その桁の「重み」を掛ける
2進法の場合、基数が2となるため、各桁の重みは1桁目から 20、21、22…です。
図にすると以下のようなイメージです。

それぞれの桁に重みを掛けると、以下の計算結果となります。

7桁目・・・1 × 2⁶ = 64
6桁目・・・0 × 2⁵ = 0
5桁目・・・1 × 2⁴ = 16
4桁目・・・1 × 2³ = 8
3桁目・・・0 × 2² = 0
2桁目・・・0 × 2¹ = 0
1桁目・・・1 × 2⁰ = 1

②各桁の①の結果を足し算する
あとは単純に、①で計算した結果を足し算していきます。
64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 89

この計算結果より、2進法の「1011001」は、10進法に変換すると「89」となります。

2進法以外のN進法でも、①の基数が変わるだけで、手順としては全く同じです。

8進法「234」を10進法の数に変換する場合は、(2 × 8²) + (3 × 8¹) + (4 × 8⁰) = 128 + 24 + 4 = 156 となります。
なお、このときに重みを掛けられる側の数がアルファベットの場合は、10進法に換算して計算します。

例えば16進法のAであれば11、Fであれば15といった具合です。

16進法の「1F7」を10進法の数に変換する場合は、(1 × 16²) + (15 × 16¹) + (7 × 16⁰) = 256 + 240 + 7 = 503 となります。

○小数部のN進数から10進数への変換

次に、小数の場合の変換について説明します。

手順は整数の場合と基本的に同じ

①N進法の数の各桁の値に、その桁の「重み」を掛ける
②各桁の①の結果を足し算する

ですが、各桁に掛ける重みが異なってきます。

例として、2進法の「0.01011」を10進法の数に変換してみましょう。

①N進法の数の各桁の値に、その桁の「重み」を掛ける
整数の場合は、桁が大きくなるごとに重みが 2⁰、2¹、2²… と変化していきました。小数の場合は、桁が大きくなるごとに 2^-1、2^-2… と変化します。
図にすると以下のようなイメージです。

負の指数については高校数学で取り扱われますが、以下の式で表されます。つまり2^-1は1/2と等しく、2^-2は1/4と等しい、ということになります。

上記を踏まえてそれぞれの桁に重みを掛けると、以下の計算結果となります。

1桁目・・・0 ×2⁰ = 0
小数点以下1桁目・・・0 × 2^-1 = 0
小数点以下2桁目・・・1 × 2^-2 = 1/4 = 0.25
小数点以下3桁目・・・0 × 2^-3 = 0
小数点以下4桁目・・・1 × 2^-4 = 1/16 = 0.0625
小数点以下5桁目・・・1 × 2^-5 = 1/32 = 0.03125

②各桁の①の結果を足し算する
あとは単純に、①で計算した結果を足し算していきます。
0 + 0 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0.03125 = 0.34375

この計算結果より、2進法の「0.01011」は、10進法に変換すると「0.34375」となります。

・10進数からN進数への変換

整数部と少数部に分けて説明します。

○整数部の10進数からN進数への変換

10進法の数をN進法で表すには、2通りの方法があります。

方法1：割り算を使う
①10進法の数をNで割っていき、余りを計算する
②①の結果を下から上に順に並べていく

方法2：重み表を使う
①N進法の重みを計算した重み表を作る
②引くことができる一番大きい重みを引いていく

一般的には方法1で変換しますが、どちらでも同じ結果が得られますので、自分がやりやすい方法を選択してください。

方法1：割り算を使う

まず方法1の手順で、先ほどの例で使った10進法の「89」を、2進法の数に変換してみます。

①10進法の数をNで割っていき、余りを計算する
89を2で割っていき、商が0になる（これ以上2で割れなくなる）まで、どんどん余りを求めていきます。
図にすると以下のようなイメージです。

②①の結果を下から上に順に並べていく
2で割っていった余りを下から並べていきます。
1 0 1 1 0 0 1

この計算結果より、10進法の「89」は、2進法に変換すると「1011001」となります。先ほどの2進法→10進法の計算とも辻褄が合います。

同じ手順で10進法の「503」を16進法に変換してみます。503を16で割っていき、割り切れなくなるまで余りを求めます。

余りを下から並べるときには、16進法の数への変換を忘れないようにしましょう。10〜15の余りが出た場合はA〜Fのアルファベットに置き換えます。
この計算結果より、10進法の「503」を16進法の「1F7」に変換することができました。

最後に、方法１の手順②で、余りを下から並べる理由について説明します。
例えば5進法の数abcを、重みを掛けて10進法の数に変換すると、a × 5² + b × 5¹ + c × 5⁰です。この10進法の数を、5で割ってみましょう。

（a × 5² + b × 5¹ + c × 5⁰）÷ 5 = a × 51 + b × 50　余り c
（a × 5¹ + b × 5⁰）÷ 5 = a × 50　　 余り b
a ÷ 5 = 0　　　　　　 余り a

5で割っていった場合、このように小さい桁の数字から余りになるため（c→b→a）、下から書き並べる（abc）のです。

方法2：重み表を使う

次に方法2の手順で、10進法の「89」を2進法の数に変換してみましょう。

①N進法の重みを計算した重み表を作る
2進法で重みを計算した表を作ります。

②引くことができる一番大きい重みを引いていく
②-① 89 < 128 なので、64の重みの欄に 64 × □ <= 89 となる「1」を書く。

②-② 残りは89 – 64 = 25。25 < 32 なので、32の重みの欄には「0」を書く。
次に大きい16の重みの欄に 16 × □ <= 25 となる「1」を書く。

②-③ 残りは25 – 16 = 9。8の重みの欄に 8 × □ <= 9 となる「1」を書く。

②-④ 残りは1。4の重みの欄と2の重みの欄には「0」、1の重みの欄に「1」を書く。

10進法の89を2進法に変換すると「1011001」という正しい結果が得られました。8進法や16進法など他のN進法においても、重みの部分を変えるだけで、同じように10進法からの基数変換を行なうことができます。

○小数部の10進数からN進数への変換

小数点以下の場合の10進数からN進数への変換についても見ていきます。
変換の手順は以下のとおりです。

方法1：掛け算を使う
①小数部をN倍していく作業を、小数部が0になるまで続ける
②N倍した結果得られた整数部の値を順に並べる

方法2：重み表を使う
①N進法の重みを計算した重み表を作る
②引くことができる一番大きい重みを引いていく

方法1：掛け算を使う

例として方法１の手順で、10進数の「0.125」を2進数に変換してみます。

①小数部をN倍していく作業を、小数部が0になるまで続ける
小数部に、変換したい数の基数（今回は2進数への変換なので2）を掛けていきます。今回は、0.125を2倍していく作業を3回繰り返したところで、小数部が0になりました。

N倍する作業を繰り返すとき、小数部のみ取り出して掛けていくようにしてください。例えば10進数の「0.6875」を2進数に変換する場合、以下の手順となります。

0.6875 × 2 = 1.375
0.375　  × 2 = 0.75
0.75 　　  × 2 = 1.5
0.5 　　　　× 2 = 1

②N倍した結果得られた整数部の値を順に並べる
整数部の値を上から（計算結果を得た）順番に並べて、小数部の値とします。今回は変換前の値は整数部が0でしたので、変換後もそのまま0となり、10進数「0.125」の2進数への変換結果は「0.001」、10進数「0.6875」の2進数への変換結果は「0.1011」となります。

2進数以外のN進数の小数でも、同じ手順で変換できます。10進数の「0.125」を8進数に変換する場合は以下のようになります。

0.125を8倍すると、1回で小数部が0になりましたので、変換結果は「0.1」です。

それでは16進数の場合はどうなるでしょうか。

この場合の変換結果は「0.2」となります。

数値によっては、小数部が0にならない場合があります。例えば10進数の「0.6」を8進数に変換しようとすると、0.46314631463146314…と4631が繰り返されます。
このように小数部が無限に続く数のことを「無限小数」と呼び、今回の例のように同じ数字が繰り返される無限小数を「循環小数」と呼びます。

コンピューターで取り扱うことのできる桁数には限りがあるため、演算結果が無限小数となった場合は、最も近い値（近似値）を利用しています。

※近似値は実行環境（コンピュータのOS）や、使用しているプログラミング言語などにより異なります。

方法2：重み表を使う

次に方法２の手順で、10進法の「0.6875」を2進法の数に変換してみましょう。

①N進法の重みを計算した重み表を作る
2進法で重みを計算した表を作ります。

②引くことができる一番大きい重みを引いていく
②-① 0.6875 < 1 なので、0.5の重みの欄に 0.5 × □ <= 0.6875 となる「1」を書く。

②-② 残りは0.6875 – 0.5 = 0.1875。0.1875 < 0.25 なので、0.25の重みの欄には「0」を書く。
次に大きい0.125の重みの欄に 0.125 × □ <= 0.1875 となる「1」を書く。

②-③ 残りは0.1875 – 0.125 = 0.0625。0.0625の欄に「1」を書く。

これで小数部の値が求められました。変換結果は方法１と同じ「0.1011」です。

2進法以外のN進法

情報処理試験においては、8進法や16進法などもよく出題されますが、基本的な考え方は2進法と同じで、それぞれに基数の違いがあるだけです。
N進法の基礎をしっかりと理解して、応用が利くように準備しておきましょう。

N進数

○8進法
基本的なルールは以下のとおりです。

• 0〜7までの8種類の数字を使用する
• 数を数えるときは1桁に 0,1,2,3… と順番に入れていき、各桁が8になると桁がひとつ繰り上がる
• 各桁の重みは8のN乗（80、81、82、83…）

○16進法
基本的なルールは以下のとおりです。

• 0〜9,A,B,C,D,E,Fの16種類の英数字を使用する
• 数を数えるときは1桁に 0,1,2,3… と順番に入れていき、各桁が16になると桁がひとつ繰り上がる
• 各桁の重みは16のN乗（161、162、163、164…）

16進法では、10進法の10〜15をA〜Fに置き換えて表現することに注意してください。

2進数と8進数、16進数同士の変換

基数が2のべき乗の数（2進数・8進数・16進数など）同士の変換は、比較的容易です。変換が容易な理由として、基数が2のべき乗である8進数や16進数は、本質的には2進数と言えるからです。例えば2進数4桁では0〜15までの数を表現できるので、複雑な計算をせず機械的に16進数1桁へ変換することができます。

変換の手順は以下のとおりです。

①変換する数を一定の桁ごとに区切る
②区切った単位で、基数変換を行なう
④②の結果をくっつける

・2進数から16進数への変換

例として、2進数の「1011111001」を16進数、8進数に変換してみましょう。
①変換する数を一定の桁ごとに区切る
区切る桁数は「変換する数の1桁が2進数の何桁で表現できるか」によって決まります。8進数であれば、1桁の最大値は8 = 最大23 = 3桁。16進数であれば、1桁の最大値は16 = 最大24 = 4桁で区切ります。
※桁が足りないところは0で補うようにしてください。

0010 | 1111 | 1001

②区切った単位で、基数変換を行なう（それぞれ1桁のN進数に変換される）
①で4桁ずつに区切った2進数を、それぞれ16進数に変換します（2進数を10進数に変換後、10進数を16進数へ変換します）。

0010 →0 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ =2（10進数の2は16進数の2）
1111 →1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ =F（10進数の15は16進数のF）
1001 →1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ =9（10進数の15は16進数の9）

③②の結果をくっつける
上の桁から順番に並べて「2F9」という結果になります。

・2進数から8進数への変換

①変換する数を一定の桁ごとに区切る
8進数への変換ですので、「1011111001」を3桁で区切ります。3桁にするため先頭に「00」を加えます。

001 | 011 | 111 | 001

②区切った単位で、基数変換を行なう（それぞれ1桁のN進数に変換される）
①で3桁ずつに区切った2進数を、それぞれ8進数に変換します。
001 →0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ =1（10進数の1は8進数の1）
011 →0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ =3（10進数の3は8進数の3）
111 →1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ =7（10進数の7は8進数の7）
001 →0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ =1（10進数の1は8進数の1）

③②の結果をくっつける
上の桁から順番に並べて「1371」という結果になります。

・8進数から2進数への変換

同じ手順で、8進数の「1372」を2進数へ変換してみましょう。

①変換する数を一定の桁ごとに区切る
①N進数から2進数への変換の場合、N進数1桁を、2を基数とした場合のべき乗の桁数に変換していきます。今回は8進数からの変換ですので、8 = 2³ = 3桁ずつに変換します。

1 | 3 | 7 | 2

②区切った単位で、基数変換を行なう
8進数の「1」・・・2進数の「001」
8進数の「3」・・・2進数の「011」
8進数の「7」・・・2進数の「111」
8進数の「2」・・・2進数の「010」

③②の結果をくっつける
上の桁から順番に並べて「1011111010」（先頭の0は無視）という結果になります。

・16進数から2進数への変換

同じように16進数の「1CB」を2進数へ変換してみます。
16進数からの変換ですので、16 = 2⁴ = 4桁ずつに変換します。

1 | C | B

上の桁から順番に並べて「111001011」（先頭の0は無視）という結果になります。

ここまで整数について説明しましたが、小数の場合も手順は同じです。

・小数点ある16進数から2進数への変換

16進数の「0.9A26」を2進数に変換してみましょう。

①変換する数を一定の桁ごとに区切る
②区切った単位で、基数変換を行なう
16進数からの変換ですので、小数部の各桁を 16 = 2⁴ = 4桁ずつの2進数に変換します。

9・・・1001
A・・・1010
2・・・0010
6・・・0110

③②の結果をくっつける（末尾の0は無視）
0.100110100010011

8進法や16進法は、基数が2のべき乗であることから2進法との相性が良く、コンピューターにとっては処理しやすい数です。現在、コンピューター内部で主に使用されているのは2進法と16進法ですが、8進法も一部使用されているケースがあります。

2進数、8進数、16進数、10進数以外の基数変換

ここまで10進数とN進数の基数変換について説明してきましたが、例えば3進数と7進数などの基数変換は、どのように行なえば良いでしょうか。

M進数からN進数（M,N=2,8,16,10以外）へ変換する手順は以下のとおりです。

①M進数を10進数に変換する（M進数→10進数）
②①の10進数をN進数に変換する（10進数→N進数）

計算のステップはひとつ増えてしまいますが、一度10進数へ変換した後で、求めたい基数に変換します。

例として3進数の2120を7進数に変換してみましょう。

①M進数を10進数に変換する（M進数→10進数）
3進数の2120を10進数に変換します。手順は前述の「○整数部のN進数から10進数への変換」を参照してください。
変換結果は「69」となります。

②①の10進数をN進数に変換する（10進数→N進数）
10進数の69を7進数に変換します。手順は前述の「○整数部の10進数からN進数への変換」を参照してください。
変換結果は「126」となります。

情報処理試験においては、2進数・8進数・16進数と10進数の変換が多く出題されますが、それ以外の基数変換についても覚えておいて損はありません。

演習問題にチャレンジ！

それでは最後に、本記事で学習した内容への理解を深めるため、演習問題に挑戦してみましょう。演習問題は全部で4問あります。

【問題１】2進数から10進数への変換
2進数の110011011を10進数に変換してください。

【解答と解説】
解答：411

N進法の数から10進法の数への変換手順は以下のとおりです。
———————————————————
①N進法の数の各桁の値に、その桁の「重み」を掛ける
②各桁の1.の結果を足し算する
———————————————————
問題１の数を手順に沿って変換していきます。
110011011
= (1×2⁸) + (1×2⁷) + (0×2⁶) + (0×2⁵) + (1×2⁴) + (1×2³) + (0×2²) + (1×2¹) + (1×2⁰)
= 256 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 411

【問題２】10進数から2進数への変換
10進数の590を2進数・8進数・16進数に変換してください。

【解答と解説】
解答：2進数「1001001110」、8進数「1116」、16進数「24E」

10進法の数からN進法への変換手順は以下のとおりです。（本記事の方法1の場合）
———————————————————
①10進法の数をNで割っていき、余り（0または1）を計算する
②①の結果を下から上に順に並べていく
———————————————————
問題２の数を手順に沿って変換していきます。

2進数への変換は以下のように行ないます。

8進法数への変換は以下のように行ないます。

16進数への変換は以下のように行ないます。

【問題３】小数点以下の基数変換
10進数の演算式 5÷32 の結果を2進数で表してください。

【解答と解説】
解答：0.00101

5÷32の計算結果は0.15625です。0.15625を2進数で表すには、小数部が0になるまで2倍していき、最後に計算結果を並べます。

0.15625 × 2 = 0.3125
0.3125 × 2 = 0.625
0.625 × 2 = 1.25
0.25 × 2 = 0.5
0.5 × 2 = 1

【問題４】N進数同士の変換
以下の表は、同じ値を2進数・8進数・10進数・16進数で表しています。空欄を埋めて表を完成させましょう。

【解答と解説】
表をすべて埋めると以下の結果になります。