N進法とは？N進法・N進数・基数変換のやり方

「N進法(進数)」の基本的な考え方について説明します。

とっつきにくい内容ですが、一度ルールさえ覚えてしまえば、決して難しいものではありません。

例題、練習問題も解きながら理解を深めてください。

N進法とは？

N進法とは数を表現するための方法のひとつで、「位取り記数法」とも呼ばれます。

N進法の「N」は、使用できる数字・記号の種類の数を表します。

例えば2進法であれば「0」と「1」の2二種類、8進法であれば「0」～「7」の8種類、12進法であれば0〜9の10種類の数字と3種類のアルファベット、16進法であれば0〜9およびA〜Fの10種類の数字と6種類のアルファベットを使うことができます。

N進数

まずは、10進法を例に見ていきます。

10進法では、以下のルールで数を表現します。

・数を数えるときは0～9の10種類の数字を使い、10になると桁がひとつ繰り上がる

10進法の数は 0 → 1 → 2 → 3 … → 9 と進んでいき、10種類の数字をすべて使い切ったところで桁がひと桁繰り上がって10となります。

このような桁の繰り上がり方は、10進法を含むすべてのN進法において、数の進み方の基本となる考え方です。

実は10進法の他にもうひとつ、私たちの日常でよく使われているN進法があります。

「時計」の60進法です。

一般的な時計が表す時間の最小単位は「秒」で、1秒、2秒…と時間が進んでいき、60秒になると「分」へ単位が繰り上がります。

同じように「分」から「時間」への繰り上がりも60分です。

つまり時計は「60進法」であると考えることができるのです。

人間が直感的に分かりやすい10進法以外に、なぜ様々なN進法があるのか、不思議に思った方もいるかもしれません。

もともとN進法は、大きな単位の数を処理しやすくするために、はるか昔インドで発明された考え方です。もしN進法がなければ、数を数えるときに 0、1、2…9、○、▲、☆… というような形で膨大な種類の数字・記号を用意する必要が出てきます。

そこでN進法の基本となる「位」の考え方により、数のまとまりを作り、そのまとまりの数を数えるようにすることで、0〜9の限られた数字だけで大きな単位の数を表すようにしました。

例えば 555 という数の場合、一の位・十の位・百の位で同じ数字が使われていますが、百の位は「100のまとまりが5つ」、十の位は「10のまとまりが5つ」、一の位は「1のまとまりが5つ」と、それぞれの数字が表現する数の大きさは違います。

これは位によって、数の基本的な大きさ（『重み』と表現します）が違うためです。

重みの増え方には規則性があり、10進法の場合、位が一つ上がるごとに10倍されていきます。

この重みの考え方を数式で表すと、以下のようになります。
555 = (100 × 5) + (10 × 5) + (1 × 5) = (10² × 5) + (10¹ × 5) + (10⁰ × 5)

10進法の各位の重みは、位が上がるごとに10倍されていくため、イコールの一番右側の式のように、10のべき乗で表現することができます。

この、べき乗される数を「基数」と呼び、10進法の基数は10です。また、10⁰の0や10²の2のように、べき乗する回数を「指数」といいます。